क्या जुड़वां अभाज्य अनुक्रम में उनकी स्थिति के संबंध में अक्सर जुड़वां अभाज्य संख्याएँ लगभग चरघातांकीय रूप से घटित होती हैं?

मैंने पहले $n$ जुड़वां अभाज्य संख्याओं का लघुगणक आलेखित किया और देखा कि वे लगभग एक लघुगणकीय वक्र बनाते हैं।

यहां 1000 (पूर्ण पैमाने) तक का आलेख है:


< br>और यहां 200,000 (पूर्ण पैमाने) तक का प्लॉट है:



लाल वक्र लघुगणकीय वक्र हैं जिनकी गणना न्यूनतम वर्ग विधि का उपयोग करके की जाती है, और यह बहुत अच्छी तरह से फिट होता है। हालाँकि, मेरे पास यह जांचने और जांचने के लिए समय या कम्प्यूटेशनल संसाधन नहीं हैं कि अनुमानित लघुगणकीय वक्र के गुणांक क्या आ रहे हैं। हालाँकि, मैं तीन वक्रों के लिए मान दूँगा:

$n = 1000: f(x) = 0.6815857245894931 + 1.4145564491070595\ln(x)$।

$n = 75,000: f (एक्स)= 2.0738728912304074+ 1.2071826228826743\ln(x)$

$n = 200,000: f(x) = 2.304380281352694 + 1.1832161536652268\ln(x)$

बिना किसी गणना के यह अनुमान लगाना कठिन है कि यह किस ओर परिवर्तित हो रहा है, लेकिन मुझे वास्तव में इसमें रुचि है कि यह किस ओर परिवर्तित हो रहा है। वैसे भी, मेरे पास इस तरह की किसी चीज़ पर खर्च करने के लिए और समय नहीं है, इसलिए मुझे उम्मीद है कि दूसरों को यह दिलचस्प लगेगा।

जो पहले ही कहा जा चुका है उसमें मैं थोड़ा और जोड़ देता हूँ। जैसा कि जोशुआज़ बताते हैं, मानक अनुमान यह है कि $x$ तक जुड़वां अभाज्य संख्याओं की संख्या एक निश्चित स्पष्ट स्थिरांक $C$ के लिए लगभग $C x / (\log x)^2$ के रूप में होती है। जैसा कि एमओ के जीएच बताते हैं, यह अनुमान अनुभवजन्य डेटा पर बहुत अच्छी तरह से फिट बैठता है। इसका एक परिणाम यह है कि अनुभवजन्य डेटा में देखा गया कोई भी पैटर्न अनुमान के अनुरूप होना चाहिए।

यदि $n$'वां जुड़वां अभाज्य $x$ है तो $n$ तक के जुड़वां अभाज्यों की संख्या है $x$ इसलिए हमें (और अनुभवजन्य रूप से ऐसा करना चाहिए) $n \लगभग C x/ (\log x)^2$ या अधिक सटीक रूप से $n = C x /(\log x)^2 + O( x^{1) होना चाहिए -\डेल्टा})$ के लिए कुछ $\डेल्टा>0$। $x$ को हल करने पर, किसी को $x \लगभग C^{-1} n \log n^2$ या अधिक सटीक रूप से $x = (1 + O(\log \log n/\log n ))C^{ मिलता है -1} n \log n^2$ जो $$\log x = \log n + 2 \log \log n - \log C + O(\log \log n/\log n).$$
यदि आप किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाते हैं, जिसका अनुमान लगाया जाता है $\log n + 2 \log \log n - \log C $, यह स्पष्ट है कि ग्राफ़ को ऐसा क्यों दिखना चाहिए जैसे इसमें $a$ के लिए $a \log n + b$ का रूप $1$ से थोड़ा बड़ा है: फ़ंक्शन $\log t$ बहुत सहज है और इसलिए $t$ में सकारात्मक ढलान के साथ एक रैखिक फ़ंक्शन द्वारा मोटे तौर पर अनुमानित किया जा सकता है, और इसलिए $\log \log n$ को $\log n$ में एक रैखिक फ़ंक्शन द्वारा मोटे तौर पर अनुमानित किया जा सकता है सकारात्मक ढलान. जैसे-जैसे आपको अधिक डेटा पॉइंट मिलेंगे अनुभवजन्य ढलान घटकर $1$ हो जाएगा।

इस तरह के ग्राफ़ के लिए, कई अलग-अलग कार्यात्मक रूप हैं जो इसे फिट कर सकते हैं। जैसा कि आप ध्यान दें, एक से कम $\log n$ की शक्ति भी ग्राफ़ में फिट हो सकती है। यही कारण है कि इस प्रकार की समस्याओं के लिए, पहले सैद्धांतिक अनुमान विकसित करना आदर्श है कि ग्राफ़ कैसा दिखना चाहिए और फिर देखें कि क्या पूर्वानुमानित वक्र डेटा पर फिट बैठता है, न कि केवल डेटा के आधार पर अनुमान लगाएं।

द $10^{18}$ तक जुड़वां अभाज्य संख्याओं की संख्या $808675888577436$ है, और यह अनुमान से $0.00000016$ प्रतिशत त्रुटि के भीतर है $\mathfrak{S}\,\mathrm{Li}_2(x)$ हार्डी और लिटिलवुड द्वारा अनुमान लगाया गया। इस विषय पर अधिक जानकारी के लिए, यहां और यहां (प्रकाशित संस्करण यहां) और यहां देखें।